Relativitas Newton dan Transformasi Galileo

Untuk membahas tentang relativitas, misalkan Anda berada di atas truk yang sedang bergerak dengan kelajuan 50 km/jam terhadap orang yang diam di pinggir jalan. Seseorang tersebut kemudian berjalan di truk dengan 5 km/jam searah dengan gerak kereta. Orang yang diam dalam truk mengatakan bahwa kelajuan Anda adalah 5 km/jam, tetapi orang yang diam di pinggir jalan mengatakan bahwa kelajuan Anda adalah 55 km/jam. Siapakah yang benar? Kedua-duanya benar sebab keduanya memandang gerak Anda sesuai dengan kerangka acuannya. Dengan kata lain gerak itu relatif.

Pada pembahasan relativitas ini akan ditinjau konsep kejadian, pengamat, dan kerangka acuan. Kejadian adalah suatu peristiwa fisika yang terjadi dalam suatu ruang pada suatu waktu sesaat yang tertentu. Contoh kejadian adalah: kilat di langit, tumbukkan antara dua mobil, dan sebagainya. Seseorang yang mengamati suatu kejadian dan melakukan pengukuran, misalnya pengukuran koordinat dan waktu disebut pengamat. Untuk menentukan letak sebuah titik dalam ruang kita memerlukan suatu system koordinat atau kerangka acuan. Misalnya, untuk menyatakan buah sebelum jatuh dari pohonnya, seorang pengamat memerlukan suatu kerangka acuan dengan koordinat (x, y, z). Jadi, kerangka acuan adalah suatu system koordinat.

Teori relativitas berhubungan dengan kejadian-kejadian yang diamati dari kerangka acuan inersial (kerangka acuan di mana hukum I Newton berlaku). Galileo dan Newton mengemukakan mengenai apa yang sekarang kita sebut prinsip relativitas Newton bahwa hukum-hukum mekanika berlaku sama pada semua kerangka acuan inersial

.Hukum gravitasi yang sama dan hukum-hukum gerak yang sama berlaku pada kedua kerangka acuan inersial. Perbedaan antara Gambar 5.1.1a dengan 5.1.1b adalah pada kerangka acuan tanah, koin memiliki kecepatan awal horizontal (sama dengan kecepatan mobil). Hukum-hukum mekanika memprakirakan bahwa koin akan menempuh lintasan parabola. Dalam kerangka acuan mobil, koin tidak memiliki kecepatan awal horizontal, hukum-hukum mekanika memprakirakan bahwa koin akan jatuh bebas menempuh lintasan lurus vertical. Jadi, hukum mekanika berlaku sama pada kedua kerangka acuan inersial tersebut walaupun lintasan yang ditempuhnya berbeda.

Gambar 5.1.1  (a) Dalam kerangka acuan mobil, (b) Dalam kerangka acuan tanah

1) Transformasi Galileo

Relativitas berhubungan dengan dua kerangka acuan yang saling bergerak dengan kecepatan konstan. Pada Gambar 5.1.2a diilustrasikan kerangka acuan “diam”, yaitu pengamat yang diam di tepi rel dan kerangka acuan “bergerak”, yaitu pengamat yang berada dalam kereta.

Kita dapat menjelaskan situasi ini dengan menggunakan kerangka acuan inersial. Pada Gambar 5.1.2 dilukiskan dua buah kerangka acuan inersial. Kerangka acuan S yang berhubungan dengan pengamat diam di tepi rel, memiliki system koordinasiXYZ dengan titik dasar O. Kerangka acuan S’ yang berhubungan dengan pengamat dalam kereta, memiliki koordinat X’Y’Z’ relatif terhadap kerangka acuan S. Mula-mula (saat t =t’= 0), titik asal kedua acuan adalah berimpit. Dalam transformasi Galileo yang akan kita turunkan ini, selang waktu yang dicatat oleh pengamat di S di anggap sama dengan yang dicatat oleh yang dicatat oleh pengamat di S’. Jadi, t’=t.

Gambar 5.1.1. (a) S, memiliki sistem kordinat XYZ dan S’, memiliki sistem kordinat X’Y’Z’ (b) Setelah selang waktu t, titik asal koordinat S’ berada sejauh v.t dari titik asal koordinat S .

Setelah selang waktu t, koordinat setiap benda (missal titik P) pada kerangka acuan S’ kita nyatakan dengan koordinat pada kerangka acuan S. dari gambar 5.1.2b tampak bahwa

O’P = OP – OO’

O’P adalah koordinat x’, OP adalah koordinat x, dan OO’ = v t, sehingga persamaan di atas menjadi

x' = x – v t

Koordinat y dan z dari benda tidak berubah karena kerangka acuan S’ dibatasi hanya bergerak sepanjang sumbu X, dan tidak pada sumbu Y dan Z. oleh karena itu

y' = y, z' = z

Jadi,  transformasi Galileo untuk koordinat dan waktu adalah

.....................................................(5.1-1)

Transformasi kebalikannya adalah

.....................................................(5.1-2)

2) Transformasi Galileo untuk kecepatan dan percepatan

Untuk memperoleh transformasi Galileo untuk kecepatan, persamaan (5.1-1) kita diferensialkan terhadap waktu.

x' = x – v t

dx'/dt =  ,  dx/dt = u_x, dan  , sehingga kita peroleh transformasi Galileo untuk kecepatan adalah:

.....................................................(5.1-3)

Transformasi kebalikannya adalah:

u_x = u_x' + v

u_y = u_y' (5.1-4)

u_z = u_z'

Di sini, u_x' adalah komponen kecepatan benda sejajar sumbu X',

u_y' adalah komponen kecepatan benda sejajar sumbu Y',

u_z' adalah komponen kecepatan benda sejajar sumbu Z'.

transformasi Galileo untuk percepatan kita peroleh dengan mendeferensialkan Persamaan (5.1-3) terhadap waktu.

u_x' = u_x – v

du_x'/dt = a_x', du_x/dt = a_x, dan dv/dt = 0 sebab v konstan, sehingga kita peroleh:

a_x' = a_x

dengan cara yang sama, kita peroleh:     a_x' = a_y, a_z' = a_z

Jadi, transformasi Galileo untuk percepatan adalah:

a_x' = a_x

a_y' = a_y .....................................................(5.1-5)

a_z' = a_z

dari persamaan (5.1-5) dapat kita simpulkan bahwa F' = ma' sama dengan F = ma, sebab     a' = a. sekali lagi tampak bahwa hukum-hukum mekanika berlaku sama, baik pada kerangka acuan S' ataupun kerangka acuan S. ini adalah sesuai dengan prinsip relativitas Newton yang telah ditanyakan sebelumnya.